Stirling-Formel (Mathe-Song)
Refrain:
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
das ist die Stirling-Formel.
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
ist in etwa n Fakultät.
Das ist sogar asymptotisch äquivalent.
Das heißt: Der Quotient ist gegen 1 konvergent.
Also wird der relative Fehler immer kleiner
und die Approximation für große Werte immer feiner.
Mensch, das ist gut, denn wir können damit jetzt
auf die Frage, wie schnell eigentlich die Fakultät wächst
in diesem Sinne die genaue Antwort geben
und sie lautet eben: Genauso schnell wie ...
Refrain
Wusstest du, dass n Fakultät
durch x hoch n mal e hoch minus x entsteht,
wenn man das von 0 bis unendlich integriert?
Das induktiv zu zeigen ist nicht wirklich kompliziert.
Somit sind die Fakultäten bildlich gesehen
die Flächen, die unter diesen Graphen entstehen.
Und die wachsen hier natürlich immer weiter,
denn sie werden immer höher und auch noch immer breiter.
Und macht man jetzt ein bisschen Kurvendiskussion,
dann findet man das Maximum von dieser Funktion
bei x gleich n und damit siehst du jetzt,
wie schnell die Funktion in die Höhe wächst,
denn der größte Funktionswert ist immer n durch e hoch n.
Das könnten wir auch vertikalen Wachstums-Term nennen.
Wir ziehen den jetzt erstmal aus dem Integral heraus
und gleichen das dann dafür durch eine Division aus.
Wir haben unsre Integranden also jetzt
so gebaut, dass es nicht mehr nach oben wächst,
doch das Maximum ist immer noch an der Stelle n
und dadurch driftet das nach rechts – kann man ja gut erkennen.
Doch schiebt man das jeweils um n nach links, dann
bleibt das Integral gleich, aber jetzt sieht man:
Der Hochpunkt ist genau bei (0, 1) fixiert
und mit wachsendem n wird das “breitgeschmiert”.
Such ich jetzt die Wendepunkte, dann erkenn
ich: Die liegen bei plus-minus Wurzel n.
Ich könnte das jetzt um den Faktor Wurzel n stauchen,
den wir als Ausgleich dafür vor dem Integral brauchen.
Da wir hier insgesamt nur linear substituiert haben,
bleibt es bei den gleichen Formen – nur mit anderen Koordinaten.
Lass ich n laufen, seh ich im Grenzwert die
Gaußsche Glockenkurve mit Integral Wurzel 2 Pi.
Refrain
Also: Wir haben bisher Folgendes gemacht:
Das vertikale Wachstum auf 1 runter gebracht,
den Drift nach rechts wieder nach links korrigiert
und dann gesehen, dass Wachstum in der Breite passiert,
daher die Wendestellen bei plus-minus 1 fixiert
und jetzt sind wir an dem Integral interessiert.
Schauen wir uns den Integranden an, dann,
fassen wir das zusammen und dann kann man
das alles als e hoch eine Funktion begreifen,
die wir im Folgenden als f_n von x bezeichnen.
Schauen wir uns mal deren Ableitungen an
und setzen für die Stelle x Null ein, dann sieht man,
wenn man das jetzt auf den Satz von Taylor loslässt:
Die Funktion ist ja das Taylor-Polynom plus der Rest,
wo bei uns konkret jetzt eben das hier steht,
wobei der Rest-Term für große n gegen Null geht, denn:
Ist n größer als 4 x Quadrat, wird es spannend, denn
dann ist der Betrag von Xi höchstens ein Halb Wurzel n.
Also mehr als das wird hier im Nenner nicht subtrahiert
und jetzt sieht man, dass es gegen Null konvergiert.
Für jedes feste x wissen wir jetzt garantiert:
Wird n groß genug, dann ist f_n hier definiert
und der Grenzwert ist minus ein Halb x Quadrat.
und nimmt man e hoch das Ganze, dann sieht man grad:
Der punktweise Grenzwert von unserem Integrand
ist exakt die Gaußsche Glockenkurve! Interessant.
Doch nur, weil das an jeder Stelle x konvergiert,
heißt das noch nicht, dass es genauso mit dem Integral passiert!
Dafür nutzen wir jetzt dominierte Konvergenz.
Ich brauch eine Funktion, mit der ich alles begrenz
und deren Integral muss dann endlich sein.
Beim Betrachten der Graphen hat es den Schein,
dass rechts hier der Fall n gleich 1 dominiert
und vielleicht ist es ja so, dass das gespiegelt funktioniert.
Es ist tatsächlich so, dass diese Ungleichung stimmt.
Das kann man beweisen, indem man diese Hilfsfunktion nimmt
und für negative und positive Werte getrennt
über die Ableitung die Monotonie erkennt.
Da es erst steigt und dann fällt, haben wir nämlich hier
das Maximum bei Null und h ist so definiert,
dass wenn man jetzt umstellt und e hoch das Ganze nimmt
dadurch jetzt gezeigt wird, dass es stimmt.
Also: Beim Grenzwert des Quotienten aus n Fakultät
und der Stirling-Formel, wenn n gegen unendlich geht,
benutzen wir hier unser Integral und jetzt
kann man einiges hier kürzen. Fetzt.
Jetzt können wir nicht nur den punktweisen Grenzwert sagen,
nein, wir wissen auch, dass wir eine “Majorante” haben!
Was uns jetzt dominierte Konvergenz lehrt,
ist: Auch mit dem Integral gilt hier der Grenzwert.
Das zu integrieren ist ‚ne Story für sich,
aber ganz unbekannt ist diese Funktion hier sicher nich.
Als Dichte der Normalverteilung ist weit bekannt:
Das Integral ist 1, also haben wir ganz entspannt
bewiesen: die beiden sind asymptotisch äquivalent
und ich singe die Formel noch einmal, damit sie jeder kennt:
Refrain